统计学

统计学是一门有关收集、处理、分析、解释和展示数据的学科。统计分析数据所用的方法大体上可分为两大类：

• 描述统计（descriptive statistics）是研究如何收集、处理、展示数据的统计学方法。
• 推断统计（inferential statistics）是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法。

描述统计

位置度量

名称	描述	常用表示方法	公式
平均数 mean	也叫算数平均数，是一组数据的数值之和除以个数。	样本平均数：[math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math] 样本个数：n 总体平均数：[math]\displaystyle{ \mu }[/math] 总体个数：N	[math]\displaystyle{ \overline{x} = \frac{\sum{x}_{i}}{n} = \tfrac{x_1 + x_2 + x_3 \ldots + x_n}{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \mu = \frac{\sum{x}_{i}}{N} = \tfrac{x_1 + x_2 + x_3 \ldots + x_N}{N} }[/math]
加权平均数 weighted mean	类似算术平均数，算数平均每个数据的权重都为[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math]，但加权平均数会根据每个数据的重要性分配权重。	样本平均数：[math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math] 样本个数：n 总体平均数：[math]\displaystyle{ \mu }[/math] 总体个数：N	假设一组数据：[math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots , x_n }[/math] 权重为[math]\displaystyle{ w_1, w_2, \dots, w_n }[/math] [math]\displaystyle{ \bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} }[/math]
几何平均数 geometric mean	是n个数据乘积的n次方根。几何平均数比算术平均数更适合用于指数增长和变化的增长值；在商业中，几何平均数的增长率被称为复合年均增长率(CAGR)。	样本几何平均数：[math]\displaystyle{ \overline{x}_g }[/math] 样本个数：n 总体几何平均数：[math]\displaystyle{ \mu_g }[/math] 总体个数：N	[math]\displaystyle{ \overline{x}_g = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}=({x_1 x_2 \cdots x_n})^{\frac{1}{n}} }[/math] 简洁记法：[math]\displaystyle{ \overline{x}_g = \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n} }[/math]
调和平均数 harmonic mean	是将所有数值取倒数并求其算术平均数后，再将此算术平均数取倒数。一般是在计算平均速率时使用。	[math]\displaystyle{ H }[/math]	[math]\displaystyle{ H = \left(\frac{x_1^{-1} + x_2^{-1} + ... + x_n^{-1}}{n}\right)^{-1} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}} }[/math] 简记：[math]\displaystyle{ H = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} }[/math]
调整平均数 trimmed mean 或truncated mean	是删除数据的最高和最低端的一部分数值后，再计算平均值。如丢弃最高5%和最低5%的数据再计算平均值。
中位数 median	也叫中值，是一组数据按数值大小排序后，位于正中间的数，如果正中间有2个数，取这2个数的平均值。	[math]\displaystyle{ M_e }[/math]	设一组数据：[math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots , x_n }[/math]。按大小顺序（升序或降序）排列后为：[math]\displaystyle{ x'_1, x'_2, \dots , x'_n }[/math] [math]\displaystyle{ \mathrm{M_e} = \begin{cases} x'_\frac{n + 1}{2}, & \mbox{n为奇数} \\ \frac{1}{2}( x'_\frac{n}{2} + x'_{\frac{n}{2} + 1}), & \mbox{n为偶数} \end{cases} }[/math]
众数 mode	指一组数据中出现次数最多的数据值。
百分位数 percentile	将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数。	[math]\displaystyle{ P_k }[/math] 表示第k百分位数
四分位数 quartiles	是把所有数值按大小排序并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数。 *[math]\displaystyle{ Q_1 }[/math]为第一四分位数（即第25百分位数） *[math]\displaystyle{ Q_2 }[/math]为第二四分位数（即第50百分位数或中位数） *[math]\displaystyle{ Q_3 }[/math]为第三四分位数（即第75百分位数）	[math]\displaystyle{ Q_1 }[/math] [math]\displaystyle{ Q_2 }[/math] [math]\displaystyle{ Q_3 }[/math]

离散程度

名称	描述	常用表示方法	公式
极差 range	是最大值减最小值后所得数值。
四分位数间距 interquartile range	是第三四分位数[math]\displaystyle{ Q_3 }[/math]减第一四分位数[math]\displaystyle{ Q_1 }[/math]所得的数值。也就是一组数据排序后中间50%的数据的极差。	[math]\displaystyle{ IQR }[/math]	[math]\displaystyle{ IQR = Q_3-Q_1 }[/math]
方差 variance	是每个值与平均值之间差的平方和，再除以个数N，对于样本除以n-1。	样本方差：[math]\displaystyle{ s^2 }[/math] 样本平均数：[math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math] 样本个数：n 总体方差：[math]\displaystyle{ \sigma^2 }[/math] 总体平均数：[math]\displaystyle{ \mu }[/math] 总体个数：N	[math]\displaystyle{ \sigma^2 = \frac{\sum{(x_i - \mu)^2} }{N} }[/math] [math]\displaystyle{ s^2 = \frac{\sum{(x_i - \overline{x})^2} }{n-1} }[/math]
标准差 standard deviation	是方差的平方根。	样本标准差：[math]\displaystyle{ s }[/math] 总体标准差：[math]\displaystyle{ \sigma }[/math]	[math]\displaystyle{ s = \sqrt{s^2} }[/math] [math]\displaystyle{ \sigma = \sqrt{\sigma^2} }[/math]
变异系数 coefficient of variation	又称标准差系数，是标准差归一化度量，通常表示为百分比。它是标准差[math]\displaystyle{ \sigma }[/math]与平均值[math]\displaystyle{ \mu }[/math]之比。

分布形态

名称	描述	常用表示方法	公式
偏度 skewness
峰度 kurtosis
z-分数 z-score	也叫标准分数(standard score)，是用来计算一个数据点的相对位置，即该值与平均值距离多少个标准差。	z	[math]\displaystyle{ z_i = {x_i - \mu \over \sigma} }[/math] [math]\displaystyle{ z_i = \frac{x_i-\bar{x}}{s} }[/math]

资源

相关网站

• 统计之都

相关文章

• 搜狐：统计学的实质是什么？--写给所有将要或者正在学习统计学的朋友们
• 统计之都：谢益辉-统计学的领域（写给在统计学院学习的学弟学妹之一）
• 机器之心：自学数据科学与机器学习，19个数学和统计学公开课推荐
• 人人都是产品经理：数据分析必备——统计学入门基础知识

书籍

• 《商务与经济统计》- 戴维.安德森
• 《统计学（第三版）》-贾俊平

参考

• 维基百科：统计学
• 维基百科：统计学（英）
• 维基百科：集中趋势
• 维基百科：概率分布