统计学

Eric（讨论 | 贡献）2021年5月19日 (三) 04:38的版本

统计学是一门有关收集、处理、分析、解释和展示数据的学科。统计分析数据所用的方法大体上可分为两大类：

  • 描述统计（descriptive statistics）是研究如何收集、处理、展示数据的统计学方法。
  • 推断统计（inferential statistics）是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法。

简介

时间轴

数据

描述统计

位置度量

名称 描述 常用表示方法 公式
平均数
mean 		也叫算数平均数，是一组数据的数值之和除以个数。 样本平均数：[math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math]
样本个数：n

总体平均数：[math]\displaystyle{ \mu }[/math]
总体个数：N
 [math]\displaystyle{ \overline{x} = \frac{\sum{x}_{i}}{n} = \tfrac{x_1 + x_2 + x_3 \ldots + x_n}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mu = \frac{\sum{x}_{i}}{N} = \tfrac{x_1 + x_2 + x_3 \ldots + x_N}{N} }[/math]
加权平均数
weighted mean 		类似算术平均数，算数平均每个数据的权重都为[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math]，但加权平均数会根据每个数据的重要性分配权重。 样本平均数：[math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math]
样本个数：n

总体平均数：[math]\displaystyle{ \mu }[/math]
总体个数：N
 假设一组数据：[math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots , x_n }[/math] 权重为[math]\displaystyle{ w_1, w_2, \dots, w_n }[/math]
[math]\displaystyle{ \bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} }[/math]
几何平均数
geometric mean 		是n个数据乘积的n次方根。几何平均数比算术平均数更适合用于指数增长和变化的增长值；在商业中，几何平均数的增长率被称为复合年均增长率(CAGR)。 样本几何平均数：[math]\displaystyle{ \overline{x}_g }[/math]
样本个数：n

总体几何平均数：[math]\displaystyle{ \mu_g }[/math]
总体个数：N
 [math]\displaystyle{ \overline{x}_g = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}=({x_1 x_2 \cdots x_n})^{\frac{1}{n}} }[/math]

简洁记法：[math]\displaystyle{ \overline{x}_g = \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^\frac{1}{n} }[/math]
调和平均数
harmonic mean 		是将所有数值取倒数并求其算术平均数后，再将此算术平均数取倒数。一般是在计算平均速率时使用。 [math]\displaystyle{ H }[/math] [math]\displaystyle{ H = \left(\frac{x_1^{-1} + x_2^{-1} + ... + x_n^{-1}}{n}\right)^{-1} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}} }[/math]

简记：[math]\displaystyle{ H = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} }[/math]
调整平均数
trimmed mean
或truncated mean 		是删除数据的最高和最低端的一部分数值后，再计算平均值。如丢弃最高5%和最低5%的数据再计算平均值。
中位数
median 		也叫中值，是一组数据按数值大小排序后，位于正中间的数，如果正中间有2个数，取这2个数的平均值。 [math]\displaystyle{ M_e }[/math]
设一组数据：[math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots , x_n }[/math]。按大小顺序（升序或降序）排列后为：[math]\displaystyle{ x'_1, x'_2, \dots , x'_n }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathrm{M_e} = \begin{cases} x'_\frac{n + 1}{2}, & \mbox{n为奇数} \\ \frac{1}{2}( x'_\frac{n}{2} + x'_{\frac{n}{2} + 1}), & \mbox{n为偶数} \end{cases} }[/math]
众数
mode 		指一组数据中出现次数最多的数据值。
百分位数
percentile 		将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数。 [math]\displaystyle{ P_k }[/math]
表示第k百分位数
四分位数
quartiles 		是把所有数值按大小排序并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数。
*[math]\displaystyle{ Q_1 }[/math]为第一四分位数（即第25百分位数）
*[math]\displaystyle{ Q_2 }[/math]为第二四分位数（即第50百分位数或中位数）
*[math]\displaystyle{ Q_3 }[/math]为第三四分位数（即第75百分位数） 		[math]\displaystyle{ Q_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ Q_2 }[/math]
[math]\displaystyle{ Q_3 }[/math]

离散程度

名称 描述 常用表示方法 公式
极差
range 		是最大值减最小值后所得数值。
四分位数间距
interquartile range 		是第三四分位数[math]\displaystyle{ Q_3 }[/math]减第一四分位数[math]\displaystyle{ Q_1 }[/math]所得的数值。也就是一组数据排序后中间50%的数据的极差。 [math]\displaystyle{ IQR }[/math] [math]\displaystyle{ IQR = Q_3-Q_1 }[/math]
方差
variance 		是每个值与平均值之间差的平方和，再除以个数N，对于样本除以n-1。 样本方差：[math]\displaystyle{ s^2 }[/math]
样本平均数：[math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math]
样本个数：n

总体方差：[math]\displaystyle{ \sigma^2 }[/math]
总体平均数：[math]\displaystyle{ \mu }[/math]
总体个数：N
 [math]\displaystyle{ \sigma^2 = \frac{\sum{(x_i - \mu)^2} }{N} }[/math]

[math]\displaystyle{ s^2 = \frac{\sum{(x_i - \overline{x})^2} }{n-1} }[/math]
标准差
standard deviation 		是方差的平方根。 样本标准差：[math]\displaystyle{ s }[/math]

总体标准差：[math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 		[math]\displaystyle{ s = \sqrt{s^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma = \sqrt{\sigma^2} }[/math]
变异系数
coefficient of variation 		又称标准差系数，是标准差归一化度量，通常表示为百分比。它是标准差[math]\displaystyle{ \sigma }[/math]与平均值[math]\displaystyle{ \mu }[/math]之比。

分布形态

名称 描述 常用表示方法 公式
偏度
skewness
峰度
kurtosis
z-分数
z-score 		也叫标准分数(standard score)，是用来计算一个数据点的相对位置，即该值与平均值距离多少个标准差。 z [math]\displaystyle{ z_i = {x_i - \mu \over \sigma} }[/math]

[math]\displaystyle{ z_i = \frac{x_i-\bar{x}}{s} }[/math]

图形

概率

概率基本概念

概率（probability）是对事件发生的可能性的度量，是0至1闭区间内的数字。

名称 描述 示例
试验
experiment
随机事件
random event 		简称事件，在一次随机试验中，可能出现也有可能不出现的某个特定事件。常用大写字母A、B、C等表示。
确定事件 确定事件可分为2类：
* 必然事件（certain event），在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中必然出现的事件。用Ω表示
* 不可能事件（impossible event），在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中不可能出现的事件。用Ф表示
确定事件的概率为1或0，但概率为0或1的事件不一定为确定事件。
样本点
sample point 		也叫基本事件（elementary event）， 抛硬币有2个样本点：正面和反面。
样本空间
sample space 		是试验所有可能结果的集合。常用S、Ω或U表示 掷骰子的样本空间 [math]\displaystyle{ S = \{1,2,3,4,5,6\} }[/math]
事件的补
complement 		是所有不包含该事件的样本点。使用c表示，如事件[math]\displaystyle{ A }[/math]的补为 [math]\displaystyle{ A^c }[/math]。
两个事件的并
union 		属于第一个事件或第二事件或同时属于二者的样本点构成的事件。使用[math]\displaystyle{ \cup }[/math]表示，如事件[math]\displaystyle{ A }[/math]和事件[math]\displaystyle{ B }[/math]的并为[math]\displaystyle{ {A}\cup{B} }[/math]。
两个事件的交
intersection 		同时属于两个事件的样本点构成的事件。使用[math]\displaystyle{ \cap }[/math]表示，如事件[math]\displaystyle{ A }[/math]和事件[math]\displaystyle{ B }[/math]的交为[math]\displaystyle{ {A}\cap{B} }[/math]。
条件概率
conditional probability 		在某事件发生的条件下，该事件的概率。使用[math]\displaystyle{ | }[/math]表示，如[math]\displaystyle{ P(A|B) }[/math]表示事件B发生的条件下事件A发生的概率。
独立事件
independent events 		一个事件发生的概率不受另一个事件的是否发生影响，则称这两个事件为独立事件。如果事件A和事件B相互独立，则[math]\displaystyle{ P(A|B) = P(A) }[/math]或[math]\displaystyle{ P(B|A) = P(B) }[/math]

计数法则

方法 描述 示例
加法法则
addition principle
乘法法则
multiplication principle 		事件A有m种试验结果（样本点），事件B有n种试验结果，且事件A与事件B相互独立，则事件A与B有 [math]\displaystyle{ {m}\times{n} }[/math]种试验结果。多步骤试验（multiple-step experiment）适用乘法法则。 如抛掷3枚硬币，抛第一枚有2种试验结果，抛第二枚有2种试验结果，抛第三枚也有2种结果，所以一共有[math]\displaystyle{ {2}\times{2}\times{2}=8 }[/math]种试验结果
组合
combinations 		从N项中选取n项（0≤n≤N）的试验，选取的n个元素为一个组合。可以使用组合计数法则计算试验结果数：
[math]\displaystyle{ C_{N}^{n} = {N\choose n} = \frac{N!}{n!(N-n)!} }[/math]
符号“[math]\displaystyle{ ! }[/math]”表示阶乘，如3的阶乘[math]\displaystyle{ 3! = {1}\times{2}\times{3} = 6 }[/math]。并且定义[math]\displaystyle{ 0! = 1 }[/math]
排列
permutalions 		从N项中选取n项（0≤n≤N）的试验，并且考虑选取的顺序，可以使用排列计数法则计算实验结果数：
[math]\displaystyle{ P_{N}^{n} = n!{N\choose n} = \frac{n!}{(N-n)!} }[/math]

概率分配

方法 描述 示例
古典法
classical method 		如果一个随机试验所包含的基本事件是有限的，且每个基本事件发生的可能性均相等，可以采用古典法进行概率分配。 如掷色子，假设A表示色子点数为1的事件，则[math]\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{6} }[/math]，B表示色子点数<=2的事件，则[math]\displaystyle{ P(B)=\frac{2}{6} }[/math]
相对频数法
relative frequency method
主观法
subjective method

概率的性质与计算

名称 公式 描述
事件A的补 [math]\displaystyle{ P(A^c)=1-P(A) }[/math]
事件A与事件B的并 [math]\displaystyle{ \begin{align} P(A\cup B) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ P(A\cup B) & = P(A)+P(B) \qquad\mbox{如果A和B为互斥事件} \\ \end{align} }[/math] 即加法公式（addition law）
事件A与事件B的交 [math]\displaystyle{ \begin{align} P(A\cap B) & = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)\\ P(A\cap B) & = P(A)P(B) \qquad\mbox{如果A和B为独立事件}\\ \end{align} }[/math] 即乘法公式（multiplication law）
事件B发生的情况下事件A的概率 [math]\displaystyle{ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} }[/math]
贝叶斯定理
Bayes's theorem


随机变量

随机变量（random variable）是将试验结果用数值表示。可分为2类：

  • 离散型随机变量（discrete random variable），取值是有限的或者是可数无穷尽的值的随机变量。
  • 连续型随机变量（continuous random variable），取值是全部实数或者由一部分区间组成的随机变量。

以下为随机变量的数字特征：

名称 描述 离散型随机变量 连续型随机变量
数学期望
expected value 		简称期望或均值，通常使用[math]\displaystyle{ E(x) }[/math]或[math]\displaystyle{ \mu }[/math]表示 [math]\displaystyle{ E(x) = \sum{x}f(x) }[/math]
方差
variance
协方差

离散型概率分布

名称 描述 概率函数 数学期望 方差
伯努利分布
bernoulli distribution 		也称两点分布或者0-1分布，
二项分布
binomial distribution 		二项概率分布的简称，是n个独立的（成功或失败）试验中成功的次数的离散概率分布。其中每次试验的成功概率相同，用p表示。这样的单次成功或失败试验又称为伯努利试验，多次伯努利试验称为二项试验。 [math]\displaystyle{ f(x) = {n\choose x}p^x(1-p)^{n-x} }[/math]
其中x为成功的次数，n为试验的次数
泊松分布
poisson distribution 		适合于描述一个时间段或空间随机事件发生的次数的概率分布。
几何分布
geometric distribution
超几何分布
hypergeometric distribution

连续型概率分布

名称 描述 概率函数 数学期望 方差
均匀分布
uniform distribution
正态分布
normal distribution 		也称高斯分布，
指数分布
exponential distribution
卡方分布
chi-square distribution 		也叫[math]\displaystyle{ \chi^2 }[/math]分布。[math]\displaystyle{ \chi }[/math]是第22个希腊字母，英语名称chi，读音与“开”相同。
学生t-分布
Student's t-distribution 		简称t分布。
F分布
F-distribution
伽玛分布
Gamma distribution
Beta 分布
Beta distribution 		也称B分布或贝塔分布。

参数估计

抽样与抽样分布

假设检验

方差分析

回归分析

时间序列分析

非参数统计

指数

资源

相关网站


相关文章

书籍

  • 《商务与经济统计》- 戴维.安德森
  • 《统计学》-贾俊平


参考

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