正态分布：修订间差异

2021年6月3日 (四) 06:49的版本

正态分布（normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），是正态概率分布的简称，一个非常重要的连续概率分布。若随机变量[math]\displaystyle{ X }[/math]服从均值或期望为[math]\displaystyle{ \mu }[/math]，标准差为[math]\displaystyle{ \sigma }[/math]的正态分布，记为[math]\displaystyle{ X \sim N(\mu,\sigma^2) }[/math]。很多现象都近似服从正态概率分布，如人的身高和体重、红细胞数、测量误差等。

时间轴

1718年，法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre）在其著作《The Doctrine of Chances》提及。
1734年，棣莫弗发表的一篇关于二项分布文章中提出的，当二项随机变量的位置参数n很大及形状参数p为1/2时，则所推导出二项分布的近似分布函数就是正态分布。

基本

正态分布定义

若随机变量[math]\displaystyle{ X }[/math]的概率密度函数（ probability density function，简称pdf）为

正态概率密度函数	[math]\displaystyle{ f(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} } }[/math]
其中，[math]\displaystyle{ \mu }[/math]为均值，[math]\displaystyle{ \sigma }[/math]为标准差，[math]\displaystyle{ \pi }[/math]为3.14159...，e为2.71828...

就称[math]\displaystyle{ X }[/math]服从参数为[math]\displaystyle{ \mu, \sigma }[/math]的正态分布，记为[math]\displaystyle{ X \sim N(\mu,\sigma^2) }[/math]。

标准正态分布定义

通常使用字母z来表示这个特殊的正态分布的随机变量。若随机变量[math]\displaystyle{ Z }[/math]服从均值[math]\displaystyle{ \mu=0 }[/math], 标准差[math]\displaystyle{ \sigma=1 }[/math]的正态分布，则称该随机变量服从标准正态分布（standard normal distribution），记为[math]\displaystyle{ Z \sim N(0,1) }[/math]。将参数[math]\displaystyle{ \mu, \sigma }[/math]值传入正态概率密度函数计算，简化得出标准正态概率密度函数：

标准正态密度函数	[math]\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} }[/math]
其中，[math]\displaystyle{ \pi }[/math]为3.14159...，e为2.71828...

累积分布函数

累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称cdf），又叫分布函数，是概率密度函数的积分。是指随机变量[math]\displaystyle{ X }[/math]小于或等于[math]\displaystyle{ x }[/math]的概率，通常记作[math]\displaystyle{ F(x) }[/math]或[math]\displaystyle{ F(x; \mu,\sigma) }[/math]。

标准正态密度函数	[math]\displaystyle{ F(x)= P(X \le x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}} dt. }[/math]

标准正态分布表

资源

参考

维基百科：正态分布

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 ==基本==
 ===正态分布定义===
-若随机变量<math>X</math>的概率密度函数为
+若随机变量<math>X</math>的概率密度函数（ probability density function，简称pdf）为
 {{公式|正态概率密度函数|<math>f(x) = \frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} } </math>||其中，<math>\mu</math>为均值，<math>\sigma</math>为标准差，<math>\pi</math>为3.14159...，e为2.71828...}}
 就称<math>X</math>服从参数为<math>\mu, \sigma</math>的正态分布，记为<math>X \sim N(\mu,\sigma^2)</math>。
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 ===累积分布函数===
+累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称cdf），又叫分布函数，是概率密度函数的积分。是指随机变量<math>X</math>小于或等于<math>x</math>的概率，通常记作<math>F(x)</math>或<math>F(x; \mu,\sigma)</math>。
+{{公式|标准正态密度函数|<math>F(x)= P(X \le x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
+\int_{-\infty}^x  e^{-\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2}} dt.</math>||}}
+==标准正态分布表==
-==标准正态分布表==